MATEMÁTICAS II

Indice:

Bloque VI

1. Trigonometría
2. Sistema sexagecimal
3. Radián
4. Ángulos de elevación y depresión
5. Funciones y razones trigonométricas

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Bloque VII

1. El plano cartesiano
2. Funciones trigonométricas en plano cartesiano
3. Circulo unitario
4. Gráficas de funciones trigonométricas
5. Respuestas

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TRIGONOMÉTRICA

trígono(triangulo)+metron(medida)+tría (tres)

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre lados y ángulos de los triángulos rectángulos.

La trigonometría se utiliza para medir distancias, su uso se puede remontar a los babilonios, egipcios, griegos y tal vez a otras culturas antiguas. Es parte integrante de la geometría.

La trigonometría se utilizó amplia mente en la navegación por medio de una herramienta llamada sextante, con la que media la distancia triangulando con las estrellas.

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Se utilizan varios sistemas para medir ángulos:

~Sexagesimal (mide la circunferencia en 360°)

~Centesimal ( divide la circunferencia en 400°)

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SISTEMA SEXAGESIMAL

Éste sistema tiene como característica que cada unidad se subdivide en

60  unidades de orden inferior.

             Las unidades de medida que usa este sistema son:

*Grados

*Minutos

*Segundos

Sumas 

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RADIÁN

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto
• 1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y
• 1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.
• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g
• La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

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Ángulos de elevación y depresión

Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea

visual o línea de visión y la línea horizontal.

Los ángulos de elevación 

El observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.

Los ángulos de depresión

El observador se encuentra por encima del lugar a observar

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Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.

Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.

Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα)  son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.

Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor:OB, OB’ y OB”.Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:

Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.

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Funciones y razones trigonométricas

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos

Función de: 

El seno: (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

Razón

Función de: 

El coseno: (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa

Razón

Función de: 

La tangente: (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente

Razón

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ejercicios:

Una escalera debe llegar hasta los 3 metros de altura de una pared con una inclinación de 51º respecto al suelo. ¿Qué longitud debe tener la escalera?

¿A qué distancia de la costa se halla el barco del siguiente escenario?

Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,8 m delpiso. El jugador está en la línea de tiro libre a 4,6 m delcentro de la canasta. El aro está a 3 m del piso. ¿Cuál esel ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro delaro?

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El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. 

Recta numérica:

Lo habitual es que se divida

 la recta numérica en dos partes:

 hacia la izquierda de un punto

 que representa al número 0, 

se detallan los números negativos,

 avanzando de derecha a izquierda.

 Hacia el otro lado del punto 0, 

se suceden los números positivos.

Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes:

Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen o cero absoluto.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

como se puede observar en la imagen en el plano cartesiano se pueden formar triángulos rectángulos tomando el punto de origen como vértice , un lado en el eje de las "x" y  otro creado por el punto "p".

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CIRCULO UNITARIO

El círculo unitario es la mejor herramienta que puedes tener al momento de lidiar con la trigonometría. Si puedes entender correctamente lo que es un círculo unitario y qué hace, la trigonometría se te hará mucho más fácil.

El círculo unitario es un círculo, centrado al origen, con un radio de 1. Recuerda que en las cónicas la ecuación es x ²+y²=1. Este círculo se puede utilizar para encontrar ciertos radios “especiales” trigonométricos, así como ayudar en la representación gráfica. También hay una línea de número real envuelta alrededor del círculo que sirve como valor de entrada en la evaluación de funciones trigonométricas.

Aprende lo siguiente:

• senθ=opuesto/hipotenusa
• cosθ=adyacente/hipotenusa
• tanθ=opuesto/adyacente
• cscθ=1/sen
• secθ=1/cos
• cotθ=1/tan

 Un radián es otra forma de medir un ángulo. Un radián es el ángulo que se necesita para que la longitud del arco cerrado sea igual a la longitud del radio. Ten en cuenta que no importa el tamaño ni la orientación del círculo. También es necesario conocer el número de radianes en un círculo completo (360 grados). Recuerda que la circunferencia de un círculo se da por 2πr, así que hay 2π medidas de radio en una circunferencia. Ya que un radián por definición es el ángulo donde la longitud del radio es igual a la del arco, hay 2π radianes en un círculo completo.http://es.wikihow.com/entender-el-c%C3%ADrculo-unitario

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Gráficas de las funciones trigonométricas

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

1. Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto  opuesto al ángulo dado.
2. Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.
3. Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.
4. Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.
5. Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.
6. Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.
7. Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

RESPUESTAS

Respuesta: 3,916 m.

 Solución

sen 51º  

Calculamos el sen 51º = seno(51*pi()/180) =  0,7771

Sustituyendo valores: 

Respuesta: 1.618,47 m.

Solución:

Es como si tuviésemos el siguiente triángulo rectángulo: